Դիտումներ. 9948

Մաթեմատիկայի շտեմարանների 2-րդ գլուխների երկրաչափության խնդիրների լուծումները

 

ՀԱՏՈՐ 1

ՀԱՐԹԱՉԱՓՈՒԹՅՈՒՆ

1. CHը  C ուղիղ անկյունով  ABC  ուղղանկյուն եռանկյան բարձրությունն է, AC:BC = 3:4, AB = 50:

1. Գտեք AC կողմի երկարությունը:

2. Գտեք CH բարձրության երկարությունը:

3. Գտեք BH հատվածի երկարությունը:

4. Գտեք եռանկյանը ներգծած շրջանագծի շառավիղի երկարությունը:

2. ABC ուղղանկյուն եռանկյան C ուղիղ անկյան գագաթից տարված է CH բարձրությունը: H կետի հեռավորությունները եռանկյան էջերից 2 և 4 են:

1. Գտեք CH բարձրության երկարության քառակուսին:

2. Գտեք ABC եռանկյան մեծ էջի երկարությունը:

3. Գտեք ABC եռանկյան մակերեսը:

4. Գտեք ABC եռանկյանն արտագծած շրջանագծի տրամագծի երկարության քառակուսին:

3. O-ն C ուղիղ անկյունով ABC ուղղանկյուն եռանկյանը ներգծված շրջանագծի կենտրոնն է և AC = 6, BC = 8:

1. Գտեք AB կողմի երկարությունը:

2. Գտեք AOB անկյան աստիճանային չափը:

3. Գտեք AOB եռանկյան մակերեսը:

4. Գտեք AM և MB հատվածներից փոքրի երկարությունը, որտեղ M-ը ABC եռանկյանը ներգծված շրջանագծի և ներքնաձիգի շոշափման կետն է:

4. Ուղղանկյուն եռանկյան էջերն են` 30 և 40:

1. Գտեք եռանկյանը ներգծած շրջանագծի շառավիղի երկարությունը:

2. Գտեք եռանկյանն արտագծած շրջանագծի շառավիղի երկարությունը:

3. Գտեք եռանկյան ուղիղ անկյան գագաթից ներքնաձիգին տարված բարձրության երկարությունը:

4. Գտեք եռանկյանը ներգծած շրջանագծի կենտրոնի հեռավորությունը ուղիղ անկյան գագաթից տարված բարձրությունից:

5. AC = 6 և BC = 8 էջերով ուղղանկյուն եռանկյանն արտագծված է շրջանագիծ: E-ն և F-ը համապատասխանաբար AC և CB փոքր աղեղների միջնակետերն են, իսկ G-ն` C կետը չպարունակող AB աղեղի միջնակետը:

1. Գտեք ABC եռանկյանը ներգծած շրջանագծի շառավիղի երկարությունը:

2. Գտեք EGF անկյան աստիճանային չափը:

3. Գտեք \(\sqrt 2 EF\) արտահայտության արժեքը:

4. Գտեք EGF եռանկյան մակերեսը:

6. Տրված է BC=40 և AC=30 էջերով ABC ուղղանկյուն եռանկյունը։ Mը և Nը համապատասխանաբար AB ներքնաձիգի և AC էջի միջնակետերն են: M և N կետերով անցնող շրջանագիծը շոշափում BC էջը K կետում:

1. Գտեք NM հատվածի երկարությունը:

2. Գտեք \(\frac{{BK}}{{KC}}\) հարաբերությունը:

3. Գտեք NMK եռանկյան մակերեսը:

4. Գտեք շրջանագծի այն լարի երկարությունը, որն ընկած է ներքնաձիգն ընդգրկող ուղղի վրա:

7. Ուղղանկյուն եռանկյանը ներգծած և արտագծած շրջանագծերի շառավիղները համապատասխանաբար հավասար են 2-ի և 5-ի:

1. Գտեք եռանկյան ներքնաձիգի երկարությունը:

2. Գտեք ուղիղ անկյան գագաթից տարված միջնագծի երկարությունը:

3. Գտեք եռանկյան պարագիծը:

4. Գտեք եռանկյան մակերեսը:

8. ABC ուղղանկյուն եռանկյան A անկյան կիսորդը BC էջը հատում է D կետում: D կետով տարված է AC-ին զուգահեռ ուղիղ, որն AB ներքնաձիգը հատում է E կետում: Հայտնի է, որ AE = 15, CD = 12:

1. Գտեք DE հատվածի երկարությունը:

2. Գտեք ADE եռանկյան մակերեսը:

3. Գտեք BD հատվածի երկարությունը:

4. Գտեք ABC եռանկյանն արտագծած և ներգծած կենտրոնների հեռավորության քառակուսին:

9. O-ն ABC ուղղանկյուն եռանկյանը ներգծված շրջանագծի կենտրոնն է: Հայտնի է, որ ∠C = 90⁰, AO = \(\sqrt 5\), OB = \(\sqrt {10} \):

1. Գտեք AOB անկյան աստիճանային չափը:

2. Գտեք ABC եռանկյան ներքնաձիգի երկարությունը:

3. Գտեք ABC եռանկյանը ներգծած շրջանագծի շառավիղի երկարությունը:

4. Գտեք եռանկյան մեծ էջի երկարությունը:

10. AC = 30 և BC = 40  էջերով ուղղանկյուն եռանկյանը ներգծված է շրջանագիծ, որը AC, BC և AB կողմերը շոշափում է համապատասխանաբար E, F և K կետերում:

1. Գտեք AK հատվածի երկարությունը:

2. Գտեք EFK եռանկյանն արտագծած շրջանագծի շառավիղի երկարությունը:

3. Գտեք EKF անկյան աստիճանային չափը:

4. Գտեք EFK եռանկյան մակերեսը:

11. Հավասարասրուն եռանկյան հիմքը 12 է, իսկ սրունքը` 10:

1. Գտեք եռանկյան կիսապարագիծը:

2. Գտեք եռանկյան մեծ կողմին տարված միջնագծի երկարությունը

3. Գտեք եռանկյանը ներգծած շրջանագծի շառավիղի երկարությունը:

4. Գտեք 5cosα արտահայտության արժեքը, որտեղ αն եռանկյան հիմքին առընթեր անկյունն է:

12. ABC  հավասարասրուն եռանկյան AC հիմքի երկարությունը 48  է, իսկ  AB և BC սրունքների երկարությունները` 30:

1. Գտեք B կետի հեռավորությունը եռանկյան միջնագծերի հատման կետից:

2. Գտեք եռանկյանն արտագծած շրջանագծի շառավիղի երկարությունը:

3. Գտեք եռանկյանը ներգծած շրջանագծի շառավիղի երկարությունը:

4. Գտեք եռանկյան միջնագծերի հատման կետի հեռավորությունը կիսորդների հատման կետից:

13. AA₁-ը և BB₁-ը  AB = BC = 10, AC = 12 կողմերով ABC եռանկյան բարձրություններն են:

1. Գտեք BB₁ բարձրության երկարությունը:

2. Գտեք ABC եռանկյան մակերեսը:

3. Գտեք ABC եռանկյանը ներգծած շրջանագծի շառավիղի երկարությունը:

4. Գտեք A₁B₁ հատվածի երկարությունը:

14. ABC հավասարասրուն եռանկյանը ներգծած շրջանագծի կենտրոնով տարված է հիմքին զուգահեռ EK ուղիղը, որն AB սրունքը հատում է E կետում, իսկ BC սրունքը՝ K կետում: Հայտնի է, որ EK = 40, ABC եռանկյանը ներգծած շրջանագծի շառավիղը 12 է:

1. Գտեք ABC եռանկյան սրունքի երկարությունը:

2. Գտեք ABC եռանկյան պարագիծը:

3. Գտեք AEKC սեղանի մակերեսը:

4. Գտեք ABC եռանկյանն արտագծած շրջանագծի տրամագծի երկարությունը:

15. BD-ն  AC = 16 հիմքով ABC հավասարասրուն եռանկյան կիսորդն է: O-ն BD կիսորդի այնպիսի կետ է, որ BO = 12, OD = 6: AO ուղիղը BC կողմը հատում է K կետում:

1. Գտեք ABC եռանկյան մակերեսը:

2. Գտեք AOB եռանկյան մակերեսը:

3. Գտեք AOD եռանկյանը ներգծած շրջանագծի շառավիղի երկարությունը:

4. Գտեք AOB և BOK եռանկյուններին արտագծած շրջանագծերի շառավիղների երկարությունների հարաբերությունը:

16. ABC հավասարասրուն եռանկյան B գագաթից տարված ուղիղը, որն անցնում է եռանկյանն արտագծած շրջանագծի O կենտրոնով, հատում է AC սրունքը D կետում: K-ն՝ BDC եռանկյան D գագաթից տարված բարձրության հիմքն է: ∠A=30⁰, AB=AC= \(8\sqrt 2 \):

1. Գտեք ABC եռանկյան մակերեսը:

2. Գտեք DBC անկյան աստիճանային չափը:

3. Գտեք BD հատվածի երկարությունը:

4. Գտեք \(\sqrt 3S \)  մեծության արժեքը, որտեղ S-ը BDK եռանկյան մակերեսն է:

17. Եռանկյան կողմերն են` 17, 25 և 28:

1. Գտեք եռանկյան կիսապարագիծը:

2. Գտեք եռանկյան մակերեսը:

3. Գտեք եռանկյան մեծ կողմին տարված բարձրության երկարությունը:

4. Գտեք եռանկյանը ներգծած շրջանագծի շառավիղի երկարությունը:

18. Եռանկյան մակերեսը 24 է, իսկ նրա երկու բարձրությունները` 6 և 8:

1. Գտեք եռանկյան փոքր կողմի երկարությունը:

2. Գտեք եռանկյան մեծ անկյան աստիճանային չափը:

3. Գտեք եռանկյան մեծ կողմին տարված միջնագծի երկարությունը:

4. Գտեք եռանկյանը ներգծած շրջանագծի շառավիղի երկարությունը:

19. Տրված է AB = 30, AC = 20 և BC = 25 կողմերով ABC եռանկյունը: AE-ն A անկյան կիսորդն է: E կետից  AC  կողմին տարված զուգահեռ ուղիղը  AB կողմը հատում է K կետում:

1. Գտեք EB հատվածի երկարությունը:

2. Գտեք EK հատվածի երկարությունը:

3. Գտեք BK հատվածի երկարությունը:

4. Գտեք ACEK քառանկյան պարագիծը:

20. 104 պարագծով ABC եռանկյան AD կիսորդը BC կողմը տրոհում է BD = 15 և CD = 24 երկարությամբ հատվածների:

1. Գտեք AB և AC կողմերի երկարությունների գումարը:

2. Գտեք ABC եռանկյան մեծ կողմի երկարությունը:

3. Գտեք ABC եռանկյան մակերեսը:

4. Գտեք ABC եռանկյանը ներգծած շրջանագծի շառավիղը:

21. ABC եռանկյան AA₁ և BB₁ միջնագծերը փոխուղղահայաց են և հատվում են O կետում. AA₁ = 9, BB₁ =12:

1. Գտեք AO հատվածի երկարությունը:

2. Գտեք AB կողմի երկարությունը:

3. Գտեք ABC եռանկյան մակերեսը:

4. Գտեք CO հատվածի երկարությունը:

22. Շրջանագիծը, որի կենտրոնը ABC եռանկյան B գագաթն է, անցնում է A կետով և հատում է  AC  և  BC  կողմերը համապատասխանաբար M և N կետերում: A անկյունը 32⁰ է, C անկյունը` 24⁰:

1. Գտեք ABC անկյան աստիճանային չափը:

2. Գտեք AMB անկյան աստիճանային չափը:

3. Գտեք NAM անկյան աստիճանային չափը:

4. Գտեք M կետով անցնող տրամագծի և AN լարի կազմած սուր անկյան աստիճանային չափը:

23. AC = 21 կողմով ABC եռանկյանն արտագծված է շրջանագիծ: Եռանկյան միջնագծերի հատման O կետով տարված է AC կողմին զուգահեռ DE լարը, որը AB կողմը հատում է M, իսկ BC կողմը` N կետում: Եռանկյունից դուրս գտնվող լարի հատվածների երկարություններն են` DM = 8, NE = 11:

1. Քանի՞ անգամ է AB հատվածը մեծ AM հատվածից:

2. Գտեք MN հատվածի երկարությունը:

3. Գտեք NO հատվածի երկարությունը:

4. Գտեք AB կողմի երկարությունը:

24. Զուգահեռագծի կից կողմերը հավասար են \(4\sqrt 2 \)  և 7, իսկ սուր անկյունը 45⁰ է:

1. Գտեք այդ զուգահեռագծի բութ անկյունների գումարի աստիճանային չափը:

2. Գտեք զուգահեռագծի մակերեսը:

3. Գտեք զուգահեռագծի անկյունագծերի հատման կետի հեռավորությունը մեծ կողմից:

4. Գտեք զուգահեռագծի փոքր անկյունագծի երկարությունը:

25. Զուգահեռագծի սուր անկյունը 60⁰ է, իսկ անկյունագծերի հատման կետի հեռավորությունը կողմերից` 3 և \(4\sqrt 3 \):

1. Գտեք զուգահեռագծի փոքր բարձրության երկարությունը:

2. Գտեք զուգահեռագծի մակերեսը:

3. Գտեք զուգահեռագծի բութ անկյան գագաթից նրա կողմերին տարված բարձրություններով կազմված անկյան աստիճանային չափը:

4. Գտեք զուգահեռագծի անկյունագծերի երկարությունների քառակուսիների գումարը:

26. Տրված է ABCD զուգահեռագիծը: AB = BD = 10, AD = 12:

1. Գտեք զուգահեռագծի փոքր բարձրության երկարությունը:

2. Գտեք զուգահեռագծի մակերեսը:

3. Գտեք ABD եռանկյանը ներգծած շրջանագծի շառավիղի երկարությունը:

4. Գտեք զուգահեռագծի անկյունագծերի հատման կետի հեռավորությունը AD հատվածի միջնակետից:

27. BD = 6 և AC = 8 անկյունագծերով ABCD շեղանկյան երկու կից կողմերի M և N միջնակետերը և այդ կողմերին չպատկանող C գագաթը միացված են իրար:

1. Գտեք շեղանկյան կողմի երկարությունը:

2. Գտեք շեղանկյան մակերեսը:

3. Գտեք MNC եռանկյան մակերեսը:

4. Գտեք փոքր անկյունագծի այն մասի երկարությունը, որը գտնվում է MNC եռանկյան մեջ:

28. Տրված է A սուր անկյունով, AB=5, BC=10 կողմերով և 48 մակերեսով ABCD զուգահեռագիծը : Զուգահեռագծի A գագաթը միացված է BC կողմի F միջնակետին, իսկ C գագաթը` AD կողմի E միջնակետին: M-ը AF և BE, իսկ N-ը` CE և FD հատվածների հատման կետերն են:

1. Գտեք BEDF քառանկյան մակերեսը:

2. Գտեք MFNE քառանկյան մակերեսը:

3. Գտեք MN հատվածի երկարությունը:

4. Գտեք MF հատվածի երկարությունը:

29. N-ը և M-ը ABCD զուգահեռագծի համապատասխանաբար CD և BC կողմերի միջնակետերն են, AN= 3, AM = 6, ∠NAM = 60⁰:

1. Գտեք ANM անկյան աստիճանային չափը:

2. Գտեք BD անկյունագծի երկարության քառակուսին:

3. Գտեք AD-ի երկարությունը:

4. Գտեք ANM և NMC եռանկյունների մակերեսների հարաբերությունը:

30. Հավասարասրուն սեղանի հիմքերն են 2 և 14, իսկ բարձրությունը` 8:

1. Գտեք սեղանի միջին գծի երկարությունը:

2. Գտեք սեղանի սրունքի երկարությունը:

3. Գտեք սեղանի մակերեսը:

4. Գտեք սեղանին արտագծած շրջանագծի շառավղի քառակուսին:

31. Տրված է AD և BC հիմքերով ABCD հավասարասրուն սեղանը: Հայտնի է, որ ∠BCA = 15⁰, ∠CDA = 30⁰, AD = \(2\sqrt 2 \):

1. Գտեք AC անկյունագծի երկարությունը:

2. Գտեք ABC եռանկյանը և ABCD սեղանին արտագծած շրջանագծերի շառավիղների հարաբերությունը:

3. Գտեք սեղանի անկյունագծերով կազմված սուր անկյան աստիճանային չափը:

4. Գտեք սեղանի մակերեսը:

32. ABCD փոխուղղահայաց  անկյունագծերով հավասարասրուն սեղանի բարձրությունը \(17\sqrt 2 \) է, իսկ BC և AD հիմքերը հարաբերում են ինչպես 5:12:

1. Գտեք սեղանի անկյունագծի և հիմքի կազմած անկյան աստիճանային չափը:

2. Գտեք սեղանի մակերեսը:

3. Գտեք սեղանի անկյունագծի երկարությունը:

4. Գտեք սեղանի սրունքների վրա ծայրակետեր ունեցող և հիմքերին զուգահեռ այն հատվածի երկարությունը, որը սեղանը տրոհում է երկու հավասարամեծ մասերի:

33. BC = 7, AD =15  հիմքերով ABCD հավասարասրուն սեղանի սրունքի երկարությունը 8 է:

1. Գտեք սեղանի միջին գծի երկարությունը:

2. Գտեք սեղանի սուր անկյան աստիճանային չափը:

3. Գտեք սեղանի անկյունագծի երկարությունը:

4. Գտեք սեղանի AB և DC սրունքները պարունակող ուղիղների հատման կետի և B կետի հեռավորությունը:

34. A ուղիղ անկյունով ABCD սեղանին ներգծած O կենտրոնով շրջանագիծը սեղանի CD սրունքը շոշափում է E կետում և այդ կետով այն տրոհում CE = 3 և ED = 12 երկարությամբ հատվածների:

1. Գտեք OBC անկյան աստիճանային չափը:

2. Գտեք COD անկյան աստիճանային չափը:

3. Գտեք շրջանագծի շառավիղի երկարությունը:

4. Գտեք սեղանի մակերեսը:

35. ABCD սեղանի AD հիմքը երեք անգամ մեծ է CB հիմքից: BOC եռանկյան մակերեսը, որտեղ O-ն սեղանի անկյունագծերի հատման կետն է, հավասար է 12-ի:

1. Գտեք AOD եռանկյան մակերեսը:

2. Գտեք \(\frac{{AC}}{{CO}}\) հարաբերությունը:

3. Գտեք AOB և COD եռանկյունների մակերեսների հարաբերությունը:

4. Գտեք AOB եռանկյան մակերեսը:

36. ABCD սեղանի AD և BC հիմքերը համապատասխանաբար հավասար են 12 և 6, իսկ AB = CD = 6: AD հիմքի վրա տրված է K կետն այնպես, որ CK -ն սեղանը բաժանում է երկու հավասարամեծ մասերի:

1. Գտեք DK հատվածի երկարությունը:

2. Գտեք ACD անկյան աստիճանային չափը:

3. Գտեք \(\sqrt3 BK\) հատվածի երկարությունը:

4. Գտեք ABCD սեղանին արտագծած շրջանագծի տրամագծի երկարությունը:

37. ABCD սեղանը ( \(AB\parallel CD\) ) AC անկյունագծով բաժանվում է երկու նման եռանկյունների, ընդ որում` AB = 25, BC = 20, AC =15:

1. Գտեք ACB անկյան աստիճանայն չափը:

2. Գտեք ACB եռանկյան C գագաթից տարված բարձրության երկարությունը:

3. Գտեք DC կողմի երկարությունը:

4. Գտեք ABCD սեղանի մակերեսը:

38. ABCD սեղանի միջին գծի երկարությունը 4 է, ∠A= 40⁰, ∠D= 50⁰, իսկ AD և BC հիմքերի միջնակետերը միացնող հատվածի երկարությունը` 1:

1. Գտեք AB և CD ուղիղների կազմած անկյան աստիճանային չափը:

2. Գտեք \(\frac{{AD - BC}}{2}\) մեծության արժեքը:

3. Գտեք AD հիմքի երկարությունը:

4. Գտեք \(\frac{{AB}}{{\sin {{50}^0}}}\) հարաբերությունը:

39. BC-ն և AD-ն ABCD սեղանի հիմքերն են: BC = 8, AD =18, AC =10, BD = 24: AD կողմի վրա K կետն ընտրված է այնպես, որ AK=13:

1. Գտեք սեղանի անկյունագծերը պարունակող ուղիղների կազմած անկյան աստիճանային չափը:

2. Գտեք սեղանի մակերեսը:

3. Գտեք CK հատվածի երկարությունը:

4. Գտեք ABK եռանկյան մակերեսը:

40. BC-ն և AD-ն ABCD սեղանի հիմքերն են և AD = 30, BC = 20, AB = 6, CD = 8:

1. Գտեք AB և CD ուղիղների կազմած անկյան աստիճանային չափը:

2. Գտեք EB հատվածի երկարությունը, որտեղ E-ն AB և CD ուղիղների հատման կետն է:

3. Գտեք A և B կետերով անցնող և CD ուղիղը շոշափող շրջանագծի շառավիղի երկարությունը:

4. Գտեք ABK եռանկյան մակերեսը, որտեղ K-ն CD սրունքի միջնակետն է:

41. Շրջանագծին ներգծած ABCD քառանկյան BD անկյունագիծը կիսում է B անկյունը և AC անկյունագիծը հատում E կետում: BC = 20, CD = 15, CE = 12:

1. Գտեք AD կողմի երկարությունը:

2. Գտեք ED հատվածի երկարությունը:

3. Գտեք BCD անկյան աստիճանային չափը:

4. Գտեք ABCD քառանկյան մակերեսը:

42. ABCD քառանկյունը ներգծված է O կենտրոնով շրջանագծին: OA շառավիղն ուղղահայաց է OB շառավիղին, իսկ OC շառավիղը` OD շառավիղին: C կետից AD ուղղին տարված ուղղահայացի երկարությունը 9 է: BC հատվածի երկարությունը 2 անգամ փոքր է AD հատվածի երկարությունից:

1. Գտեք քառանկյան A և B անկյունների գումարի աստիճանային չափը:

2. Գտեք BC-ի երկարությունը:

3. Գտեք ABCD քառանկյան մակերեսը:

4. Գտեք շրջանագծի շառավիղի երկարության քառակուսին:

43. Շրջանագծի A կետից տարված են AC = 20 և AB = 24 երկարությամբ սուր անկյուն կազմող երկու լարեր: Փոքր լարի միջնակետի հեռավորությունը մեծ լարից 8 է:

1. Գտեք ABC եռանկյան C գագաթից տարված բարձրության երկարությունը:

2. Գտեք A կետի հեռավորությունը AB լարին ուղղահայաց տրամագծից:

3. Գտեք CB հատվածի երկարությունը:

4. Գտեք շրջանագծի տրամագծի երկարությունը:

 

ՏԱՐԱԾԱՉԱՓՈւԹՅՈւՆ

1. Տրված է ABCDA₁B₁C₁D₁  կանոնավոր քառանկյուն պրիզման, որի հիմքի կողմը 3 է, իսկ բարձրությունը՝ 4:

1. Գտեք պրիզմայի ծավալը:

2. Գտեք պրիզմայի կողմնային մակերևույթի մակերեսը:

3. Գտեք պրիզմայի անկյունագծի երկարության քառակուսին:

4. Գտեք AD կողով և B₁ կետով տարված հատույթի մակերեսը:

2. ABCDA₁B₁C₁D₁ կանոնավոր քառանկյուն պրիզմայի հիմքի կողմը \(5\sqrt 3 \)  է, իսկ բարձրությունը՝ 5: AD կողմի վրա E կետը վերցված է այնպես, որ ED=5:

1. Գտեք պրիզմայի անկյունագծի երկարության քառակուսին:

2. Գտեք պրիզմայի ծավալը:

3. Գտեք B₁ADC երկնիստ անկյան աստիճանային չափը:

4. Հաշվել C, C₁, E կետերով անցնող հարթությամբ պրիզմայի հատույթի մակերեսը:

3. Ուղղանկյունանիստի անկյունագիծը կողմնային նիստի հարթության հետ կազմում է 30⁰, իսկ հիմքի հարթության հետ` 45⁰ անկյուն: Ուղղանկյունանիստի բարձրությունը 6 է:

1. Գտեք ուղղանկյունանիստի անկյունագծի և կողմնային կողի կազմած անկյան աստիճանային չափը:

2. Գտեք ուղղանկյունանիստի հիմքի մակերեսը:

3. Գտեք ուղղանկյունանիստի բոլոր անկյունագծերի երկարությունների քառակուսիների գումարը:

4. Գտեք այն ութանիստի ծավալը, որի գագաթներն են ուղղանկյունանիստի նիստերի անկյունագծերի հատման կետերն են:

4. ABCDA₁B₁C₁D₁ ուղիղ պրիզմայի հիմքը 30 և 40 անկյունագծերով շեղանկյուն է: Պրիզմայի բարձրությունը հավասար է 7-ի:

1. Գտեք պրիզմայի այն անկյունագծային հատույթի մակերեսը, որն անցնում է հիմքի մեծ անկյունագծով:

2. Գտեք պրիզմայի կողմնային մակերևույթի մակերեսը:

3. Գտեք պրիզմայի B₁ գագաթի հեռավորությունը AD կողից:

4. Գտեք AD և B₁C₁ կողերով տարված հարթությամբ պրիզմայի հատույթի մակերեսը:

5. ABCDA₁B₁C₁D₁ ուղիղ պրիզմայի հիմքը 7 և 25 հիմքերով և 12 բարձրությամբ հավասարասրուն սեղան է: Պրիզմայի անկյունագիծը հավասար է 25-ի:

1. Գտեք պրիզմայի հիմքի անկյունագծի երկարությունը:

2. Գտեք պրիզմայի բարձրության երկարությունը:

3. Գտեք պրիզմայի անկյունագծային հատույթի մակերեսը:

4. Գտեք A₁ABCD բուրգի ծավալը:

6. Ուղիղ զուգահեռանիստի հիմքի կողմերի երկարությունները 2 և 11 են, իսկ նրանց կազմած անկյունը` 60⁰: Զուգահեռանիստի մեծ անկյունագծի երկարությունը \(7\sqrt 6 \) է:

1. Գտեք զուգահեռանիստի հիմքի բութ անկյան աստիճանային չափը:

2. Գտեք զուգահեռանիստի մեծ անկյունագծի և հիմքի հարթության կազմած անկյան աստիճանային չափը:

3. Գտեք զուգահեռանիստի մեծ անկյունագծային հատույթի մակերեսը:

4. Գտեք զուգահեռանիստի ծավալը:

7. ABCDA₁B₁C₁D₁  ուղիղ պրիզմայի բարձրությունը 3 է, հիմքը 6 կողմով շեղանկյուն է, իսկ ∠BAD=60⁰:

1. Գտեք պրիզմայի կողմնային մակերևույթի մակերեսը:

2. Գտեք BC₁CA երկնիստ անկյան աստիճանային չափը:

3. Գտեք С₁ գագաթով և հիմքի փոքր անկյունագծով անցնող հարթությամբ առաջացած հատույթի մակերեսը:

4. Գտեք A₁BDC₁ երկնիստ անկյան աստիճանային չափը:

8․ Ուղիղ պրիզմայի կողմնային կողի երկարությունը 10 է, իսկ հիմքը 24 և 32 էջերով ուղղանկյուն եռանկյուն: Ներքնաձիգի միջնակետով տարված է այդ ներքնաձիգին ուղղահայաց հարթություն:

1. Գտեք պրիզմայի ծավալի \(\frac{1}{{10}}\) մասը։

2. Գտեք պրիզմային արտագծած գնդային մակերևույթի շառավղի քառակուսին:

3. Գտեք առաջացած հատույթի մակերեսը:

4. Գտեք տարված հարթությանը զուգահեռ և կողմնային կողով անցնող հարթությամբ հատույթի մակերեսը:

9․ ABCA₁B₁C₁ ուղիղ պրիզմայի հիմքը AB = 13, BC = 15, AC = 14 կողմերով ABC եռանկյունն է: B գագաթի հեռավորությունը AB₁C հատույթից 9,6 է:

1. Գտեք ABC եռանկյան մակերեսը:

2. Գտեք B₁ACB երկնիստ անկյան սինուսի հնգապատիկը:

3. Գտեք BB₁ կողի երկարությունը:

4. Գտեք պրիզմայի կողմնային նիստերը և հիմքը շոշափող գնդային մակերևույթի շառավիղը:

10․ ABCDA₁B₁C₁D₁  ուղիղ զուգահեռանիստի AA₁ կողմնային կողը հավասար է 4-ի, իսկ հիմքի AB = 3 և AD = 5 կողմերը կազմում են 60⁰ անկյուն: BC կողմի վրա նշված է N կետն այնպես, որ CN = 2:

1. Գտեք AN և D₁C₁ ուղիղների հեռավորությունը:

2. Քանի՞ աստիճան է B₁D և AC₁ անկյունագծերի կազմած անկյունը:

3. Գտեք AN ուղղի և DD₁C₁C նիստի կազմած անկյան աստիճանային չափը:

4. Գտեք B₁ գագաթով անցնող և AN-ին ուղղահայաց հատույթի մակերեսը:

11. ABCDA₁B₁C₁D₁ զուգահեռանիստի բոլոր նիստերը 6 և 8 երկարությամբ անկյունագծերով շեղանկյուններ են, իսկ A գագաթի հարթ անկյունները սուր են:

1. Գտեք զուգահեռանիստի լրիվ մակերևույթի մակերեսը:

2. Գտեք BB₁D₁D հատույթի մակերեսը:

3. Գտեք ABCD հիմքի վրա AA₁ կողի պրոյեկցիայի երկարության քառապատիկը:

4. Գտեք \(\frac{V}{{\sqrt {39} }}\)  հարաբերության թվային արժեքը, որտեղ V-ն զուգահեռանիստի ծավալն է:

12. ABCDA₁B₁C₁D₁ զուգահեռանիստի հիմքը AB= \(3\sqrt 2 \)  և BC= \(2\sqrt 2 \) կողմերով ուղղանկյուն է:  \(\sqrt 2 \) երկարությամբ  AA₁ կողը հիմքի՝ իրեն կից կողմերից յուրաքանչյուրի հետ կազմում է 60⁰-ի անկյուն:

1. Գտեք զուգահեռանիստի բարձրության երկարությունը:

2. Գտեք AA₁ կողմնային կողի և հիմքի հարթության կազմած անկյան աստիճանային չափը:

3. Գտեք զուգահեռանիստի ծավալը:

4. Գտեք A և A₁ կետերով անցնող և հիմքի հարթությանն ուղղահայաց հատույթի մակերեսը:

13․ Կանոնավոր քառանկյուն բուրգի բարձրության երկարությունը \(4\sqrt 3 \)  է, իսկ կողմնային նիստի և հիմքի հարթության կազմած անկյունը 60⁰:

1. Գտեք բուրգի բարձրության և հարթագծի կազմած անկյան աստիճանային չափը:

2. Գտեք բուրգի հարթագծի երկարությունը:

3. Գտեք բուրգի հիմքի պարագիծը:

4. Գտեք բուրգի լրիվ մակերևույթի մակերեսը:

14. Կանոնավոր քառանկյուն բուրգի յուրաքանչյուր կողի երկարությունը \(5\sqrt 2 \)։

1. Գտեք բուրգի բարձրության երկարությունը:

2. Գտեք հիմքի հարթության հետ կողմնային կողի կազմած անկյան աստիճանային չափը:

3. Գտեք բուրգի ծավալի եռապատիկը:

4. Գտեք բուրգին արտագծած գնդի շառավիղի երկարությունը:

15․ Կանոնավոր եռանկյուն բուրգի հիմքի կողմը \(6\sqrt 3 \) է, իսկ բարձրությունը` \(3\sqrt 3 \)։

1. Գտեք բուրգի հիմքի բարձրության երկարությունը:

2. Գտեք բուրգի հարթագծի երկարությունը:

3. Գտեք բուրգի հարթագծի և հիմքի հարթության կազմած անկյան աստիճանային չափը:

4. Գտեք բուրգի ծավալը:

16․ DABC եռանկյուն բուրգի հիմքը ուղղանկյուն եռանկյուն (∠ACB =90⁰), DA կողը բուրգի բարձրությունն է, ∠BAC = ∠DBC, BC = 3, DC = 4:

1. Գտեք DCB անկյան կոսինուսը:

2. Գտեք BDCA երկնիստ անկյան աստիճանային չափը:

3. Գտեք BDAC երկնիստ անկյան սինուսի հնգապատիկը:

4. Գտեք բուրգին արտագծած գնդային մակերևույթի տրամագծի երկարությունը:

17. Քառանիստի յուրաքանչյուր կողի երկարությունը \(\sqrt[4]{3}\) է։

1. Գտեք քառանիստի գագաթների թիվը:

2. Գտեք քառանիստի գագաթներից մեկին առընթեր հարթ անկյունների գումարի աստիճանային չափը:

3. Գտեք քառանիստի լրիվ մակերևույթի մակերեսը:

4. Գտեք քառանիստի հանդիպակաց կողերի կազմած անկյան աստիճանային չափը:

18. PABC քառանիստի PBC և ABC նիստերը փոխուղղահայաց են, որոնցից յուրաքանչյուրը հավասարասրուն ուղղանկյուն եռանկյուն է՝ BC = 2 ներքնաձիգով։

1. Գտեք քառանիստի փոքր կողի երկարության քառակուսին:

2. Գտեք քառանիստի ծավալի եռապատիկը:

3. Գտեք քառանիստին արտագծած գնդային մակերևույթի շառավիղի երկարությունը:

4. Գտեք PC և AB ուղիղների կազմած անկյան աստիճանային չափը:

19. ABCD քառանիստի BD կողի միջնակետով տարված է AB և CD կողերին զուգահեռ հարթություն: AC = BC, AD = BD, AB = 10, CD = 24:

1. Գտեք AB և CD ուղիղների կազմած անկյան աստիճանային չափը:

2. Գտեք հատույթի մեծ կողմի երկարությունը:

3. Գտեք AC և BD կողերի միջնակետերի հեռավորությունը:

4. Գտեք հատույթի մակերեսը:

20․SABCD կանոնավոր քառանկյուն բուրգի SC կողմնային կողի K միջնակետով տարված է հիմքին ուղղահայաց և AB կողին զուգահեռ հատույթ: Բուրգի հիմքի կողմը 20 է, բարձրությունը` 16:

1. Գտեք K կետի հեռավորությունը հիմքի հարթությունից:

2. Գտեք բուրգի այն հատույթի մակերեսը, որն անցնում է K կետով և զուգահեռ է հիմքի հարթությանը:

3. Գտեք ստացված հատույթի մակերեսը:

4. Գտեք ստացված հատույթի անկյունագծի երկարությունը:

21․Հիմքի O կենտրոնով SABC կանոնավոր եռանկյուն բուրգի A գագաթը SC կողի D միջնակետին միացնող հատվածի երկարությունը 25 է, իսկ հիմքի կողմը 28:

1. Գտեք DB հատվածի երկարությունը:

2. Գտեք DAB անկյան կոսինուսի հարյուրապատիկը:

3. Գտեք D կետով անցնող և հիմքին զուգահեռ հատույթի պարագիծը:

4. Գտեք 25d մեծության թվային արժեքը, որտեղ d-ն SD կողի միջնակետի հեռավորությունն է AD ուղղից:

22. Բուրգի հիմքն ուղղանկյուն է, որի մեծ կողմը 9 է: Երկու կողմնային նիստերն ուղղահայաց են հիմքի հարթությանը, իսկ մյուս երկուսը նրա հետ կազմում են \(arctg\frac{3}{4}\)  և \(arctg\frac{1}{3}\) անկյուններ:

1. Գտեք բուրգի բարձրության երկարությունը:

2. Գտեք բուրգի հիմքի փոքր կողմի երկարությունը:

3. Գտեք բուրգի ծավալը:

4. Գտեք բուրգին արտագծած գնդային մակերևույթի տրամագծի երկարության քառակուսին:

23. Գլանի բարձրությունը 10 է, իսկ կողմնային մակերևույթի մակերեսը` \(100\pi \sqrt 3 \):

1. Գտեք գլանի առանցքային հատույթի անկյունագծի և հիմքի հարթության կազմած անկյան աստիճանային չափը:

2. Քանի՞ անգամ կմեծանա գլանի ծավալը, եթե հիմքի շառավիղը մեծացվի 2 անգամ, իսկ բարձրությունը փոքրացվի 2 անգամ:

3. Գտեք գլանի առանցքին զուգահեռ և նրանից \(\frac{{5\sqrt 3 }}{2}\)  հեռավորության վրա գտնվող հատույթի մակերեսը:

4. Գտեք գլանին թեք ներգծված քառակուսու մակերեսը, եթե նրա բոլոր գագաթները գտնվում են գլանի հիմքերի շրջանագծերի վրա:

24․ AB հատվածը, որի ծայրակետերը գտնվում են գլանի հիմքերի շրջանագծերի վրա, գլանի առանցքից ունի 4 միավոր հեռավորություն և երկու անգամ մեծ է գլանի շառավղից: Գլանի լրիվ մակերևույթի մակերեսը \(256\pi \) է:

1. Գտեք գլանի բարձրության երկարությունը:

2. Գտեք գլանի հիմքի շառավիղի երկարությունը:

3. Գտեք AB հատվածի և գլանի հիմքի հարթության կազմած անկյան աստիճանային չափը:

4. Գտեք գլանի առանցքային հատույթի մակերեսը:

25. Տրված է հիմքի 5 շառավիղ ունեցող գլան, որի բարձրությունը 8 է:

1. Գտեք գլանի ծավալի \(\frac{1}{\pi }\) մասը։

2. Գտեք գլանի առանցքային հատույթին արտագծած շրջանագծի շառավիղի երկարության քառակուսին:

3. Գտեք գլանին ներգծված կանոնավոր վեցանկյուն պրիզմայի կողմնային մակերևույթի մակերեսը:

4. Գտեք գլանի առանցքից  4  հեռավորություն ունեցող և գլանի առանցքին զուգահեռ հատույթի պարագիծը:

26. Կոնի բարձրությունը 3 է, հիմքի շառավիղը` \(3\sqrt 3 \):

1. Գտեք կոնի ծնորդի երկարությունը:

2. Գտեք կոնի ծնորդի և հիմքի հարթության կազմած անկյան աստիճանային չափը:

3. Կոնի հիմքի տրամագիծը քանի՞ անգամ է մեծ հիմքի կենտրոնի և ծնորդի հեռավորությունից:

4. Գտեք կոնի բարձրության միջնակետով և նրա ծնորդին զուգահեռ տարված ուղղի այն մասի երկարության կրկնապատիկը, որը գտնվում է կոնի ներսում:

27. Կոնի բարձրությունը հավասար է հիմքի շառավղին և հավասար է 5-ի:

1. Գտեք կոնի ծնորդի և հիմքի հարթության կազմած անկյան աստիճանային չափը:

2. Կոնին արտագծած գնդի շառավիղի երկարությունը:

3. Գտեք \(\frac{3}{\pi }V\) մեծության թվային արժեքը, որտեղ V-ն կոնի ծավալն է:

4. Գտեք \(\frac{S}{\pi }\) մեծության թվային արժեքը, որտեղ S-ը կոնին արտագծած գնդային մակերևույթի մակերեսն է:

28. Կոնին ներգծած է գունդ: Կոնի ծնորդը \(\sqrt 3 \) անգամ մեծ  է կոնի գագաթի և գնդի կենտրոնի հեռավորությունից:

1. Գտեք կոնի հիմքի մակերեսի և գնդի մեծ շրջանի մակերեսի հարաբերությունը:

2. Գտեք կոնի ծնորդի և հիմքի հարթության կազմած անկյան աստիճանային չափը:

3. Գտեք կոնի կողմնային մակերևույթի փռվածքի աղեղի աստիճանային չափը:

4. Քանի՞ անգամ է կոնի հիմքի շրջանագծի երկարությունը մեծ այն գծի երկարությունից, որով գնդային մակերևույթը շոշափում է կոնի կողմային մակերևույթը:

29․ Կոնի լրիվ մակերևույթի մակերեսը երեք անգամ մեծ է հիմքի մակերեսից և հավասար է \(36\pi \):

1. Քանի՞ անգամ է կոնի ծնորդը մեծ կոնի շառավղից:

2. Գտեք կոնի առանցքային հատույթի գագաթի անկյան աստիճանային չափը:

3. Գտեք կոնի 30⁰-ի անկյուն կազմող երկու ծնորդներով տարված հատույթի մակերեսը:

4. Գտեք կոնի կողմնային մակերևույթի փռվածքի աղեղի աստիճանային չափը:

 

ՀԱՏՈՐ 2

ՀԱՐԹԱՉԱՓՈւԹՅՈւՆ

1. Ուղղանկյուն եռանկյան սուր անկյուններից մեկը 60⁰ է, իսկ այդ անկյան դիմացի էջը` \(8\sqrt 3\):

1. Գտեք եռանկյան փոքր էջի երկարությունը:

2. Գտեք եռանկյան ներքնաձիգի երկարությունը:

3. Գտեք եռանկյանն արտագծված շրջանագծի շառավղի երկարությունը:

4. Գտեք եռանկյան մեծ էջի պրոյեկցիան ներքնաձիգի վրա:

2. ABC եռանկյան մեջ AB =13, BC = 30, CA = 37: Այդ եռանկյանը ներգծված շրջանագիծը AB, BC և CA կողմերը շոշափում է համապատասխանաբար K, L և M կետերում:

1. Գտեք ABC եռանկյան մակերեսը:

2. Գտեք ABC եռանկյանը ներգծած շրջանագծի տրամագծի երկարությունը:

3. Գտեք MC հատվածի երկարությունը:

4. Գտեք 13S մեծության թվային արժեքը, որտեղ S-ը BKL եռանկյան մակերեսն է:

3. ABC եռանկյան մակերեսը 36 է: AB և BC կողմերի վրա վերցված են համապատասխանաբար M և N կետերն այնպես, որ AM:MB = 1:3, BN:NC = 1:2: O-ն AN և CM հատվածների հատման կետն է:

1. Գտեք \(\frac{{ON}}{{OA}}\)  հարաբերությունը:

2. Գտեք ANB եռանկյան մակերեսը:

3. Գտեք AMO եռանկյան մակերեսը:

4. Գտեք MBNO քառանկյան մակերեսի հարաբերությունը AMO եռանկյան մակերեսին:

4. ABC եռանկյան AB և BC կողմերի վրա վերցված են համապատասխանաբար M և N կետերն այնպես, որ AM:MB = 1:2: AN և CM հատվածները հատվում են O կետում, ընդ որում` \({S_{AOM}} = {S_{MON}} = 6 \):

1. Գտեք \(\frac{{BC}}{{NC}}\) հարաբերությունը:

2. Գտեք MNB եռանկյան մակերեսը:

3. Գտեք ANC եռանկյանը հավասարամեծ քառակուսու կողմը:

4. Գտեք CO:OM հարաբերությունը:

5. ABC  և  A₁B₁C₁ եռանկյուննները նման են: Ընդ որում` AB = 17, BC = 10, CA = 21, իսկ A₁B₁C₁ եռանկյան փոքր կողմը 5 է:

1. Գտեք A₁B₁C₁ եռանկյան մեծ կողմի երկարության կրկնապատիկը:

2. Գտեք A₁B₁C₁ եռանկյան պարագիծը:

3. Գտեք A₁B₁C₁ եռանկյան մակերեսը:

4. Գտեք ABC եռանկյանը ներգծած շրջանագծի տրամագծի երկարությունը:

6. 65 պարագծով ABC եռանկյան AD կիսորդը BC կողմը բաժանում է BD = 6 և DC = 9 երկարությամբ մասերի: D կետից  AC  կողմին տարած զուգահեռ ուղիղը AB կողմը հատում է E կետում:

1. Գտեք եռանկյան մեծ կողմի երկարությունը:

2. Գտեք DE հատվածի երկարությունը:

3. Գտեք AED անկյան կիսորդի և AD-ի կազմած անկյան աստիճանային չափը:

4. Գտեք ABC եռանկյանը ներգծած շրջանագծի տրամագծի և BED եռանկյանը ներգծած շրջանագծի շառավղի հարաբերությունը:

7. ABC եռանկյան մեջ AB = 18, BC = 15: Այդ եռանկյան AC կողմի վրա վերցված է D կետն այնպես, որ AD = 12, իսկ ∠ABD = ∠ACB:

1. Գտեք ABC եռանկյան AC կողմի երկարությունը:

2. Գտեք ADB եռանկյան BD կողմի երկարությունը:

3. Գտեք ADB եռանկյան պարագծի եռապատիկի և ABC եռանկյան պարագծի հարաբերությունը:

4. Գտեք ABC եռանկյան մակերեսի քառապատիկի և ADB եռանկյան մակերեսի հարաբերությունը:

8. ABC եռանկյանը ներգծված է 6 շառավղով շրջանագիծ, որն AB, BC և AC կողմերը շոշափում է համապատասխանաբար M, N և K կետերում: Եռանկյան մակերսը 204 է, իսկ AB փոքր կողմը հավասար է CK-ին:

1. Գտեք եռանկյան կիսապարագիծը:

2. Գտեք եռանկյան փոքր կողմի երկարությունը:

3. Գտեք AM և MB հատվածներից մեծի երկարությունը:

4. Գտեք եռանկյան մեծ կողմի երկարությունը:

9. ABC եռանկյան AB և AC կողմերի վրա վերցված են համապատասխանաբար M և N կետերն այնպես, որ ∠AMN  = ∠ACB: Տրված են նաև`  AB = 28, AM = 15, MN = 13 և BC = 26:

1. Գտեք AMN եռանկյան AN կողմը:

2. Գտեք ABC եռանկյան պարագիծը:

3. Գտեք ABC և AMN եռանկյունների մակերեսների հարաբերությունը:

4. Գտեք AMN եռանկյանը ներգծած շրջանագծի շառավիղը:

10. ABCD զուգահեռագծի A և D անկյունների կիսորդները BC կողմը հատում են համապատասխանաբար E և F կետերում: O-ն AE և DF կիսորդների հատման կետն է: Ընդ որում` BE-ն 3 անգամ մեծ է EC-ից:

1. Գտեք AOD անկյան աստիճանային չափը:

2. Գտեք \(\frac{{AO}}{{OE}}\) հարաբերությունը:

3. Գտեք AOD և EOF եռանկյունների մակերեսների հարաբերությունը:

4. Գտեք DOEC և ABFO քառանկյունների մակերեսների հարաբերությունը:

11. ABCD զուգահեռագծի B գագաթից AC անկյունագծին տարված ուղղահայացի E հիմքը անկյունագիծը տրոհում է 1:2 հարաբերությամբ մասերի` հաշված A գագաթից: AC = 24, իսկ BD = 22:

1. Գտեք AE հատվածի երկարությունը:

2. Գտեք անկյունագծերի հատման կետի հեռավորությունը E կետից:

3. Գտեք զուգահեռագծի փոքր կողմի երկարությունը:

4. Գտեք զուգահեռագծի պարագիծը:

12. ABCD զուգահեռագծի մակերեսը 420 է: Ընդ որում AC = 39 և BD = 25 երկարությությամբ անկյունագծերը հատվում են O կետում:

1. Գտեք AOB եռանկյան մակերեսը:

2. Գտեք 65sin(∠AOB) արտահայտության արժեքը:

3. Գտեք մեծ կողմի երկարությունը:

4. Գտեք զուգահեռագծի կիսապարագիծը:

13. ABCD զուգահեռագծի մակերեսը \(36\sqrt 3 \)  է, ∠B = 2∙∠A: A և D անկյունների կիսորդները BC կողմը հատում են միևնույն E կետում:

1. Գտեք EAD անկյան աստիճանային չափը:

2. Գտեք զուգահեռագծի B անկյան աստիճանային չափը:

3. Գտեք զուգահեռագծի մեծ կողմի երկարությունը:

4. Գտեք E կետի հեռավորությունը զուգահեռագծի BD անկյունագծից:

14. ABCD քառանկյանն արտագծված է շրջանագիծ: Հայտնի է, որ  ∠ACD = 5∙∠BAC, ∠DBC = 2∙∠ACB, ∠ACB = 2∙∠BAC:

1. Գտեք BAC անկյան աստիճանային չափը:

2. Գտեք AB և DC ուղիղներով կազմված անկյան աստիճանային չափը:

3. Գտեք քառանկյան անկյունագծերով կազմված անկյան աստիճանային չափը:

4. Գտեք շրջանագծի շառավղի երկարությունը, եթե \(AC = 12\sqrt 2 \):

15. O կենտրոնով շրջանագծին ներգծված ABCD քառանկյան A, B, C անկյունների մեծությունները հարաբերում են ինչպես 5:9:7, իսկ  ∠BOC = 60⁰:

1. Գտեք քառանկյան մեծ անկյան աստիճանային չափը:

2. Գտեք քառանկյան փոքր անկյան աստիճանային չափը:

3. Գտեք AD և BC ուղիղներով կազմված անկյան աստիճանային չափը:

4. Գտեք \(\frac{{AC}}{{CD}}\) հարաբերությունը:

16. Շրջանագիծն անցնում է ABC եռանկյան C գագաթով, հատում է AC կողմը D կետում, AB կողմը շոշափում B գագաթում: Հայտնի է, որ AC =18, ∠CBD = 30⁰, BD = DC:

1. Գտեք A անկյան աստիճանային չափը:

2. Գտեք DBA անկյան աստիճանային չափը:

3. Գտեք AD հատվածի երկարությունը:

4. Գտեք շրջանագծի շառավղի երկարությունը:

17. Շրջանագիծն անցնում է ABC եռանկյան B գագաթով, CD բարձրության D հիմքով և շոշափում է AC կողմը C գագաթում: \(AC = 12\sqrt 3 \), ∠ACD = 30⁰:

1. Գտեք A անկյան աստիճանային չափը:

2. Գտեք DBC անկյան աստիճանային չափը:

3. Գտեք CB կողմի երկարությունը:

4. Գտեք շրջանագծի կենտրոնի հեռավորությունը եռանկյան AB կողմից:

18. ABC հավասարասրուն եռանկյանն արտագվծած շրջանագծի DE լարը զուգահեռ է AC հիմքին և AB սրունքը K կետով բաժանում է 5:4 հարաբերությամբ մասերի` հաշված B գագաթից: Հայտնի է, որ AC = 72, AB = 45:

1. Գտեք DE լարի այն ամենամեծ հատվածի երկարությունը, որը գտնվում է եռանկյան ներսում:

2. Գտեք DK (DK < EK) հատվածի երկարությունը:

3. Գտեք B գագաթի հեռավորությունը DE լարից:

4. Գտեք AC և DE լարերի երկարությունների տարբերությունը:

19. ABCD քառանկյանը ներգվծած է շրջանագիծ, ընդ որում AC =CD =15,    AD =18, իսկ ∠B = 90⁰:

1. Գտեք քառանկյան փոքր կողմի երկարությունը:

2. Գտեք C գագաթի հեռավորությունը AD կողմից:

3. Գտեք BAD անկյան աստճանային չափը:

4. Գտեք ABCD քառանկյան և ABC եռանկյան մակերեսների հարաբերությունը:

20. Շրջանագծին արտագծած ABCD քառանկյան BD անկյունագիծը 25 է, BC = 21, CD = 26, իսկ ∠A = 90⁰:

1. Գտեք AD և AB կողմերի տարբերությունը:

2. Գտեք քառանկյան փոքր կողմի երկարությունը:

3. Գտեք քառանկյան պարագիծը:

4. Գտեք A գագաթի հեռավորությունը BD անկյունագծից:

21. ABCD շեղանկյան կողմի երկարությունը 25 է, իսկ AC անկյունագծի երկարությունը` 40: Նրան ներգծած O կենտրոնով շրջանագծին տարված է շոշափող, որը BC և CD կողմերը հատում է համապատասխանաբար M և N կետերում և զուգահեռ է BD-ին:

1. Գտեք շրջանագծի շառավղի երկարությունը:

2. Գտեք MN հատվածի երկարությունը:

3. Գտեք BMN եռանկյան մակերեսը:

4. Գտեք 5cos(∠MON) արտահայտության արժեքը:

22. ABCD զուգահեռագծի AC անկյունագիծը \(12\sqrt 3 \)  է: E-ն և F-ը համապատասխանաբար AD և DC կողմերի միջնակետերն են, K-ն BE-ի և AC-ի հատման կետն է, իսկ L-ը` BF -ի և AC -ի: BE = 6, BF = 12:

1. Գտեք BEF անկյան աստիճանային չափը:

2. Գտեք KC:AK հարաբերությունը:

3. Գտեք B գագաթի հեռավորությունը AC անկյունագծից:

4. Գտեք ABCD զուգահեռագծի և ABK եռանկյան մակերեսների հարաբերությունը:

23. Շրջանագծից դուրս գտնվող A կետից շրջանագծին տարված են AB շոշափողն ու AM հատողը, որի արտաքին մասը AC-ն է: Հայտնի է, որ  AM = 3∙AC =\(6\sqrt 3 \), իսկ ∠BAM = 30⁰:

1. Գտեք շրջանագծի շոշափողի երկարությունը:

2. Գտեք BM լարի երկարությունը:

3. Գտեք BM փոքր աղեղի աստիճանային չափը:

4. Գտեք B կետով անցնող շառավղի պրոյեկցիան BM լարի վրա:

24. O₁ և O₂ կենտրոններով համապատասխանաբար 10 և 20 շառավղներով շրջանագծերը, որոնց կենտրոնների հեռավորությունը 26 է, շոշափում են AB ուղիղը համապատասխանաբար A և B կետերում:

1. Գտեք O₁ կետի հեռավորությունը O₂B շառավղից:

2. Գտեք AB հատվածի երկարությունը:

3. Գտեք այն հատվածի երկարությունը, որի ծայրակետերն O₁O₂ հատվածի և շրջանագծերի հատման կետերն են:

4. Գտեք AO₁O₂B քառանկյան մակերեսը:

25. O₁  և  O₂  կենտրոններով և համապատասխանաբար 1 և 7 շառավիղներով երկու շրջանագծեր, որոնք գտնվում են AB ուղղի տարբեր կողմերում, շոշափում են այդ ուղիղը համապատասխանաբար A և B կետերում: Հայտնի է, որ AB = 15:

1. Գտեք O₁ կետի հեռավորությունը O₂B շառավիղն ընդգրկող ուղղից:

2. Գտեք O₁ և O₂ կետերի հեռավորությունը:

3. Գտեք O₁O₂ հատվածի այն մասի երկարությունը, որը գտնվում է շրջաններից դուրս:

4. Գտեք AO₁BO₂ սեղանի մակերեսի և AO₁B եռանկյան մակերեսի հարաբերությունը:

26. \(14\sqrt 3 \)  շառավղով շրջանագծին ներգծված սեղանի սրունքը 18 է, հիմքին առընթեր անկյունը` 60⁰:

1. Գտեք սեղանի անկյունագծի երկարությունը:

2. Գտեք սեղանի սրունքի պրոյեկցիան հիմքի վրա:

3. Գտեք սեղանի մեծ և փոքր հիմքերի տարբերությունը:

4. Գտեք սեղանի միջին գծի երկարությունը:

27. ABCD սեղանը AC անկյունագծով բաժանվում է երկու նման եռանկյունների: Հայտնի է, որ AB և CD սրունքներն ընդգրկող ուղիղներն ուղղահայաց են, AD մեծ հիմքը 15 է, AB = BC:

1. Գտեք սեղանի փոքր հիմքի երկարությունը:

2. Գտեք AC անկյունագծի և սեղանի բարձրության հարաբերությունը:

3. Գտեք սեղանի մեծ անկյան աստիճանային չափը:

4. Գտեք ABCD սեղանի և ABC եռանկյան մակերեսների հարաբերությունը:

28. ABC ուղղանկյուն եռանկյան AB ներքնաձիգը 39 է, իսկ AC էջը` 15: Եռանկյանը ներգծած շրջանագծի M կետով եռանկյան փոքր էջին զուգահեռ տարված շոշափողը ներքնաձիգը հատում է K կետում, իսկ BC էջը` E կետում:

1. Գտեք շրջանագծի տրամագծի երկարությունը:

2. Գտեք \(\frac{{BK}}{{KA}}\) հարաբերությունը:

3. Գտեք KM հատվածի երկարությունը:

4. Գտեք ACEK սեղանի պարագիծը:

29. O կենտրոնով շրջանագծի A կետից տարված են AC =15 և AB = 9 երկարությամբ երկու լարեր: BAC աղեղի աստիճանային չափը 120⁰ է:

1. Գտեք BAC անկյան աստիճանային չափը:

2. Գտեք BC լարի երկարությունը:

3. Գտեք շրջանի և BOC շրջանային փոքր սեկտորի մակերեսների հարաբերությունը:

4. Գտեք շրջանագծի շառավղի երկարության և BC լարից կենտրոնի հեռավորության հարաբերությունը:

30. r = 2 շառավղով շրջանագծին արտագծած է ուղղանկյուն սեղան, որի ամենափոքր կողմի երկարությունը 3 է:

1. Գտեք սեղանի մեծ սրունքի երկարությունը:

2. Գտեք սեղանի մեծ հիմքի երկարությունը:

3. Գտեք սեղանի փոքր անկյունագծի երկարությունը:

4. Գտեք սեղանի մակերեսը:

31. O կենտրոնով շրջանագծի C կետից նրա AB տրամագծին տարված է CH ուղղահայացը, ընդ որում` AH = 8, իսկ HB =18:

1. Գտեք OH հատվածի երկարությունը:

2. Գտեք CH հատվածի երկարությունը:

3. Գտեք A և B կետերից C կետում շրջանագծի շոշափողին տարված ուղղահայացների երկարությունների արտադրյալը:

4. Գտեք A₁HB₁ անկյան աստիճանային չափը, որտեղ A₁-ը և B₁-ը C  կետում շրջանագծի շոշափողին A և B կետերից տարված ուղղահայացների հիմքերն են:

32. Շրջանագծի AB և CD լարերը հատվում են M կետում և այդ կետով կիսվում: Հայտնի է, որ AB =10, AD = 5:

1. Գտեք շրջանագծի շառավղի երկարությունը:

2. Գտեք BMC եռանկյան պարագիծը:

3. Գտեք AC-ի երկարության քառակուսին:

4. Գտեք CAD անկյան աստիճանային չափը:

33. O կենտրոնով շրջանագծից դուրս գտնվող A կետից շրջանագծին տարված AM շոշափողը և AB հատողը փոխուղղահայաց են: Շոշափողի երկարությունը \(8\sqrt 3 \)  է, իսկ հատողի ներքին մասը երկու անգամ մեծ է արտաքին մասից:

1. Գտեք հատողի երկարությունը:

2. Գտեք ABM անկյան աստիճանային չափը:

3. Գտեք շրջանագծի շառավղի երկարությունը:

4. Գտեք MOB անկյան աստիճանային չափը:

34. O₁ և O₂ կենտրոններով և M կետում իրար շոշափող, համապատասխանաբար 2 և 8 շառավիղներով երկու շրջանագծեր շոշափում են միմյանց և a ուղիղը համապատասխանաբար M₁ և M₂ կետերում:

1. Գտեք O₂ և O₁ կենտրոններով շրջանների մակերեսների հարաբերությունը:

2. Գտեք M₁M₂ հատվածի երկարությունը:

3. Գտեք O₁M₁M₂O₂ քառանկյան մակերեսը:

4. Գտեք M₁MM₂ անկյան աստիճանային չափը:

35. K կետը O կենտրոնով շրջանագծի AB լարը բաժանում է AK =10 և KB =16 երկարությամբ հատվածների: K կետով անցնող տրամագիծը շրջանագիծը հատում է C և D կետերում (CK < KD), ընդ որում` OK = 6:

1. Գտեք շրջանագծի շառավղի երկարությունը:

2. Գտեք CK հատվածի երկարությունը:

3. Գտեք \(\sqrt 3 d\) արտահայտության արժեքը, որտեղ d-ն O կետի հեռավորությունն է AB հատվածից:

4. Գտեք \(\frac{{4AD}}{{BC}}\)  հարաբերությունը:

36. Հավասարասրուն սեղանի հիմքերը հարաբերում են ինչպես 3:4, իսկ բարձրությունը 14 է: Սեղանի միջին գիծը հավասար է նրա բարձրությանը:

1. Գտեք սեղանի անկյունագծերի կազմած անկյան աստիճանային չափը:

2. Գտեք սեղանի փոքր հիմքի երկարությունը:

3. Գտեք սեղանի մակերեսը:

4. Գտեք սեղանին արտագծած շրջանագծի շառավղի երկարությունը:

37. Զուգահեռագծի անկյունագծերի հատման կետից մեծ կողմին տարված ուղղահայացը, որը այդ կողմը տրոհում է 17 և 8 երկարությամբ հատվածների, հավասար է 6-ի:

1. Գտեք զուգահեռագծի մեծ կողմին տարված բարձրության երկարությունը:

2. Գտեք զուգահեռագծի մակերեսը:

3. Գտեք զուգահեռագծի փոքր անկյունագծի երկարությունը:

4. Գտեք զուգահեռագծի պարագիծը:

38. Ուղղանկյուն եռանկյան սուր անկյուններից մեկը 75⁰ է, իսկ էջերի գումարը՝ \(12\sqrt 6 \):

1. Գտեք եռանկյան ուղիղ անկյան գագաթից տարված միջնագծի և կիսորդի կազմած անկյան աստիճանային չափը:

2. Գտեք եռանկյան ներքնաձիգի երկարությունը:

3. Գտեք եռանկյան մակերեսը:

4. Գտեք այն քառակուսու մակերեսը, որի անկյունագիծը տրված եռանկյան ուղիղանկյան գագաթից տարված կիսորդն է:

39. O₁ և O₂ կենտրոններով, համապատասխանաբար 1 և շառավիղներով երկու շրջանագծեր, որոնց կենտրոնների հեռավորությունը 1 է, հատվում են A և B կետերում:

1. Գտեք O₁AO₂ անկյան աստիճանային չափը:

2. Գտեք \(\frac{{\sqrt 2 AB}}{{A{O_2}}}\) հարաբերությունը:

3. ABO₂ եռանկյան մակերեսը քանի՞ անգամ է մեծ AO₁O₂ եռանկյան մակերեսից:

4. Գտեք ABO₂ եռանկյանն արտագծած շրջանագծի տրամագիծը:

40. Միմյանց M կետում արտաքնապես շոշափող O₁ և O₂ կենտրոններով շրջանագծերին տարված արտաքին շոշափողը O₁ կենտրոնով շրջանագիծը շոշափում է A կետում, իսկ O₂ կենտրոնով շրջանագիծը՝ B կետում: Հայտնի է, որ O₁ կենտրոնով շրջանագծի շառավիղը 9 է, որը մեծ է O₂ կենտրոնով շրջանագծի շառավղից, իսկ AB = 12:

1. Գտեք O₂ կետի հեռավորությունը O₁A ուղղից:

2. Գտեք O₂ կենտրոնով շրջանագծի շառավիղը:

3. Գտեք AMB անկյան աստիճանային չափը:

4. Գտեք 13∙d մեծության արժեքը, որտեղ d-ն M կետի հեռավորությունն է AB ուղղից:

41. Շրջանագծին ներգծված է ABCD քառանկյունն այնպես, որ AB և CD աղեղները հավասար են: Հայտնի է, որ ∠ABD = 60⁰, ∠BDC = 30⁰, իսկ AB լարը \(4\sqrt 2 \)  է:

1. Գտեք B անկյան աստիճանային չափը:

2. Գտեք շրջանագծի շառավիղը:

3. Գտեք շրջանագծի կենտրոնի հեռավորությունը AD լարից:

4. Գտեք AMD եռանկյան մակերեսը, որտեղ M-ը ABCD քառանկյան անկյունագծերի հատման կետն է:

42. ABC եռանկյան AC և BC կողմերը շրջանագծերի տրամագծեր են, որոնց կենտրոնները համապատասխանաբար N և M կետերն են: CK-ն այդ շրջանագծերի ընդհանուր լարն է: Հայտնի է, որ AC =13, BC = 20, AB = 21:

1. Գտեք KNM եռանկյան պարագիծը:

2. Գտեք ABC եռանկյան մակերեսը:

3. Գտեք AKB անկյան աստիճանային չափը:

4. Գտեք CK հատվածի երկարությունը:

43. Շրջանագծին ներգծած է ABC եռանկյունը, ընդ որում AB = 24, AC =15 և ∠BAC = 60⁰: AD-ն շրջանագծի տրամագիծն է:

1. Գտեք ACD անկյան աստիճանային չափը:

2. Գտեք BC հատվածի երկարությունը:

3. Գտեք շրջանագծի շառավղի քառակուսին:

4. Գտեք BD հատվածի երկարության քառակուսին:

 

ՏԱՐԱԾԱՉԱՓՈւԹՅՈւՆ

1. ACDA₁B₁C₁D₁ ուղղանկյունանիստը հատել են AB, CD և CC₁ կողերի միջնակետերով անցնող հարթությամբ: Հայտնի է, որ CC₁ = CD = 8 և AD = \(4\sqrt 2 \) :

1. Գտեք հատույթի անկյունագծերի հատման կետի հեռավորությունը ուղանկյունանիստի ABCD նիստից:

2. Գտեք ABCD նիստի և հատույթի հարթությունների կազմած երկնիստ անկյան աստիճանային չափը:

3. Գտեք հատույթի անկյունագծի երկարությունը:

4. Գտեք ուղղանկյունանիստի ծավալի և հատույթով ուղղանկյունանիստից անջատված եռանկյուն պրիզմայի ծավալի հարաբերությունը:

2. ACDA₁B₁C₁D₁ ուղիղ պրիզմայի հիմքը BC = 7 և AD = 23 հիմքերով և 8 բարձրությամբ հավասարասրուն սեղան է: Պրիզմայի բարձրությունը հավասար է \(17\sqrt 3 \):

1. Գտեք պրիզմայի հիմքի անկյունագծի երկարությունը:

2. Գտեք պրիզմայի անկյունագծի և հիմքի հարթության կազմած անկյան աստիճանային չափը:

3. Գտեք CC₁ կողին առընթեր երկնիստ անկյան աստիճանային չափը:

4. Գտեք A₁CDE բուրգի ծավալը, եթե E-ն AD հատվածի կետ է և DE = \(8\sqrt 3 \):

3. Կանոնավոր եռանկյուն բուրգի յուրաքանչյուր կողմնային կողի երկարությունը \(6\sqrt 2 \)  է, իսկ հիմքի կողմը` \(6\sqrt 3 \) :

1. Գտեք բուրգի բարձրության երկարությունը:

2. Գտեք հիմքի հարթության հետ կողմնային նիստի կազմած անկյան տանգենսը:

3. Գտեք \(\sqrt 3 V\)-ն, որտեղ V -ն բուրգի ծավալն է:

4. Գտեք բուրգին արտագծած գնդի շառավղի երկարությունը:

4. DABC եռանկյան բուրգի հիմքն ուղղանկյուն եռանկյուն է (∠ACB = 90⁰), DA կողը բուրգի բարձրությունն է, ∠BAC =∠DBC, BC = 6, DC = 8:

1. Գտեք DCB անկյան սինուսը:

2. Գտեք ADCB երկնիստ անկյան աստիճանային չափը:

3. Գտեք BDAC երկնիստ անկյան կոսինուսի հնգապատիկը:

4. Գտեք բուրգին արտագծած գնդային մակերևույթի շառավղի երկարությունը:

5. ABCD քառանիստի AB և CD կողերին զուգահեռ հատույթը a կողմով քառակուսի է: Հայտնի է, որ AB =10, CD =15:

1. Գտեք AB և CD ուղիղների կազմած անկյան աստիճանային չափը:

2. Գտեք հատույթի կողմի երկարությունը:

3. Գտեք հատույթի մակերեսը:

4. Գտեք \(\frac{{DA}}{{DB}}\) հարաբերությունը, եթե AC = BC:

6. SABCD կանոնավոր քառանկյուն բուրգի B գագաթը SC կողի E միջնակետին միացնող հատվածի երկարությունը 13 է, իսկ հիմքի կողմը \(10\sqrt 2 \):

1. Գտեք DE հատվածի երկարությունը:

2. Գտեք 13∙cos(∠EBD) -ն:

3. Գտեք E կետով անցնող և հիմքին զուգահեռ հատույթի մակերեսը:

4. Գտեք 13∙d մեծության թվային արժեքը, որտեղ d-ն SA կողի միջնակետի հեռավորությունն է BE ուղղից:

7. Բուրգի հիմքը 12 երկարությամբ կողմով և 6 բարձրությամբ շեղանկյուն է: Բուրգի բարձրությունը 3 է: Բուրգի հիմքին առընթեր բոլոր երկնիստ անկյունները հավասար են:

1. Գտեք բուրգի ծավալը:

2. Գտեք բուրգի հիմքին առընթեր երկնիստ անկյան աստիճանային չափը:

3. Գտեք բուրգի հանդիպակաց կողմնային նիստերի կազմած անկյան աստիճանային չափը:

4. Գտեք բուրգի բարձրությունով անցնող և կողմնային նիստին ուղղահայաց հատույթի մակերեսը:

8. Կոնի հիմքի շառավիղը 6 է, իսկ ծավալը` \(72\pi \):

1. Գտեք կոնի բարձրության երկարությունը:

2. Գտեք կոնի ծնորդի և հիմքի հարթության կազմած անկյան աստիճանային չափը:

3. Գտեք կոնին արտագծած գնդի շառավղի երկարությունը:

4. Գտեք  \(\frac{S}{\pi }\) մեծության թվային արժեքը, որտեղ S-ը կոնին արտագծած գնդային մակերևույթի մակերեսն է:

9. Կոնին ներգծած է գունդ: Կոնի բարձրությունը \(\sqrt 3 \)  անգամ մեծ է կոնի ծնորդի այն հատվածի երկարությունից, որի ծայրակետերն են կոնի գագաթը և գնդային մակերևույթի ու կոնի ծնորդի շոշափման կետը:

1. Գտեք կոնի կողմնային մակերևույթի մակերեսի և գնդի մեծ շրջանի մակերեսի հարաբերությունը:

2. Գտեք կոնի ծնորդի և հիմքի հարթության կազմած անկյան աստիճանային չափը:

3. Գտեք կոնի կողմնային մակերևույթի փռվածքի աղեղի աստիճանային չափը:

4. Քանի՞ անգամ է կոնի հիմքի շրջանի մակերսը մեծ այն շրջանի մակերեսից, որի եզրագիծը գնդի մակերևույթի և կոնի կողմային մակերևույթի շոշափման կետերն են:

10. ABC եռանկյան գագաթներն ընկած են O կենտրոնով գնդային մակերևույթի վրա: O կետի հեռավորությունը եռանկյան հարթությունից \(12,5\sqrt 3 \)  է, AB = BC = 20, AC = 24:

1. Գտեք ABC եռանկյանն արտագծած շրջանագծի տրամագծի երկարությունը:

2. Գտեք գնդային մակերևույթի շառավղի երկարությունը:

3. Գտեք \(\frac{{\sqrt 3 }}{3}V\)-ն, որտեղ V-ն OABC բուրգի ծավալը:

4. Որոշեք \(\frac{{\sqrt 3 {V_0}}}{S}\) հարաբերությունը, որտեղ V₀-ն գնդի ծավալն է, իսկ S-ը` OABC բուրգին արտագծած կոնի կողմնային մակերևույթի մակերեսը:

11. Հատած կոնի հիմքերի շառավիղներն ու ծնորդը հարաբերում են, ինչպես 4:11:25, իսկ ծավալը \(1448\pi \)  է:

1. Գտեք հատած կոնի փոքր հիմքի շառավիղը:

2. Գտեք հատած կոնի առանցքային հատույթի մակերեսը:

3. Գտեք հատած կոնի կողմնային մակերևութի մակերեսի \(\frac{1}{\pi }\) մասը:

4. Գտեք հատած կոնի հիմքերը շոշափող գնդային մակերևութի մակերեսի \(\frac{1}{\pi }\) մասը:

12. O կենտրոնով և 37 շառավղով գունդը շոշափում է ABCD հավասարասրուն սեղանի բոլոր կողմերը: O կետի պրոյեկցիան ABCD հարթության վրա H կետն է: Սեղանի հիմքերն են` BC =18, AD = 32:

1. Գտեք սեղանի CD սրունքի երկարությունը:

2. Գտեք BOHA երկնիստ անկյան կոսինուսը:

3. Գտեք OH հատվածի երկարությունը:

4. Գտեք ABCD հարթության վրա OA հատվածի պրոյեկցիայի երկարությունը:

13. O կենտրոնով և 7 շառավղով գունդը շոշափում է ABCD շեղանկյան բոլոր կողմերը: Գնդի կենտրոնի հեռավորությունը A գագաթից 9 է, իսկ  B-ից` 11:

1. Գտեք շեղանկյան կողմի երկարության քառակուսին:

2. Գտեք AOHD երկնիստ անկյան սինուսը, որտեղ OH-ը ուղղահայաց է ABCD հարթությանը:

3. Գտեք O կետի հեռավորությունը ABCD հարթությունից:

4. Գտեք ABCD հարթության վրա OB հատվածի պրոյեկցիայի երկարության քառակուսին:

14. Կոնի առանցքային հատույթը կանոնավոր եռանկյուն է, հիմքի շառավիղը` \(6\sqrt 3 \):

1. Գտեք \(\frac{S}{\pi }\) հարաբերության թվային արժեքը, որտեղ S-ը կոնի կողմնային մակերևույթի մակերեսն է:

2. Գտեք կոնի կողմնային մակերևույթի փռվածքի աղեղի աստիճանային չափը:

3. Գագաթից ի՞նչ հեռավորության վրա պետք է տանել կոնի հիմքին զուգահեռ հարթություն, որպեսզի ստացված հատույթի մակերեսը հավասար լինի կոնի հիմքի մակերեսի \(\frac{1}{4}\) -ին:

4. Գտեք \(\frac{V}{\pi }\) մեծության թվային արժեքը, որտեղ V-ն կոնին ներգծած գնդի ծավալն է:

15. Կոնի բարձրությունը \(\sqrt 3 \)  է: Հատույթն անցնում է կոնի A գագաթով և հիմքի BC լարով, որը ձգում է 60⁰-ի աղեղ: Հատույթի հարթությունը հիմքի հարթության հետ կազմում է 30⁰-ի անկյուն:

1. Գտեք AB ուղղի և հիմքի հարթության կազմած անկյան կոտանգենսը:

2. Գտեք հատույթի մակերեսը:

3. Գտեք հատույթի հարթությունից կոնի հիմքի կենտրոնի հեռավորության կրկնապատիկը:

4. Գտեք ABCO բուրգի ծավալը, որտեղ O-ն հիմքի կենտրոնն է:

16. AD = 15, BC = 9 հիմքերով և AB = 10 մեծ կողմնային կողով ABCD ուղղանկյուն սեղանը պտտվում է փոքր հիմքի շուրջ:

1. Գտեք պտտման արդյունքում AD-ի առաջացրած գլանային մակերևույթի հիմքի շառավղի երկարությունը:

2. Գտեք պտտման արդյունքում AB -ի առաջացրած կոնական մակերևույթի փռվածքի սեկտորի անկյան աստիճանային չափը:

3. Գտեք պտտումից առաջացած մարմնի մակերևույթի մակերեսի և \(\pi \)-ի հարաբերությունը:

4. Գտեք առաջացած մարմնի ծավալի և \(\pi \)-ի հարաբերությունը:

17. ABCD զուգահեռագծի A, B, C գագաթներն այդ զուգահեռագծի կողմերը չհատող a հարթությունից գտնվում են համապատասխանաբար 7, 11, 21 հեռավորությունների վրա: O-ն զուգահեռագծի անկյունագծերի հատման կետն է, M-ը` BC-ի միջնակետը:

1. Գտեք O կետի հեռավորությունը a հարթությունից:

2. Գտեք D կետի հեռավորությունը a հարթությունից:

3. Գտեք \(\frac{{BD}}{{OK}}\) հարաբերությունը, որտեղ K -ն BD և AM ուղիղների հատման կետն է:

4. Գտեք ABC եռանկյան միջնագծերի հատման կետի հեռավորությունը a հարթությունից:

18. ABC եռանկյան կողմերը շոշափում են O կենտրոնով և 5 շառավղով գնդային մակերևույթը: AB = BC =10, AC =12:

1. Գտեք ABC եռանկյանը ներգծած շրջանագծի շառավղի երկարությունը:

2. Գտեք O կետի հեռավորությունը ABC հարթությունից:

3. Գտեք OABC բուրգի ծավալը:

4. Որոշեք \(\frac{{9V}}{{{V_1}}}\) հարաբերությունը, որտեղ V-ն գնդի, իսկ V₁-ը` OABC բուրգին ներգծած կոնի ծավալն է:

19. A կետի հեռավորությունը a հարթության B և C կետերից, համապատասխանաբար հավասար են 2 և \(\sqrt 5 \) , AO-ն a հարթությանը տարված ուղղահայացն է և AO = BC =1:

1. Գտեք a հարթության վրա AC հատվածի պրոյեկցիայի երկարությունը:

2. Գտեք a և (ABC) հարթությունների կազմած անկյան աստիճանային չափը:

3. Գտեք a հարթության և AB ուղղի կազմած անկյան աստիճանային չափը:

4. Գտեք ABCO բուրգին արտագծած գնդային մակերևույթի տրամագծի քառակուսին:

20. O կետից տարված են OA, OM, ON ճառագայթներն, այնպես որ  ∠MON = 90⁰, ∠AON =∠AOM = 60⁰: A կետից տարված է MON անկյան կիսորդին ուղղահայաց հարթություն, որը OM և ON ճառագայթները հատում է համապատասխանաբար C և B կետերում: Հայտնի է, որ  OA = \(6\sqrt 2 \):

1. Գտեք OAB անկյան աստիճանային չափը:

2. Գտեք AO ուղղի և MON հարթության կազմած անկյան աստիճանային չափը:

3. Գտեք BAC անկյան աստիճանային չափը:

4. Գտեք OABC բուրգին արտագծած գնդային մակերևույթի շառավղի երկարությունը:

21. OA, OB և OC ճառագայթները դասավորված են այնպես, որ ∠AOC =∠AOB = 45⁰, ∠BOC = 60⁰, իսկ OH ուղիղն ուղղահայաց է AOB հարթությանը:

1. Գտեք COAB երկնիստ անկյան աստիճանային չափը:

2. Գտեք COBA երկնիստ անկյան տանգենսի քառակուսին:

3. Գտեք OH և OC ուղիղների կազմած անկյան աստիճանային չափը:

4. Գտեք OB ուղղի և AOC հարթության կազմած անկյան աստիճանային չափը:

22. O գագաթով AOB ուղիղ անկյան հարթությանը չպատկանող M կետի հեռավորությունը O կետից \(4\sqrt 3 \) է, իսկ OM-ի կազմած անկյունը OA և OB ուղիղների հետ` 60⁰:

1. Գտեք AOB հարթության վրա OM ուղղի պրոյեկցիայի և OB-ի կազմած անկյան աստիճանային չափը:

2. Գտեք M կետի հեռավորությունը AOB անկյան կողմերից:

3. Գտեք OM ուղղի և AOB հարթության կազմած անկյան աստիճանային չափը:

4. Գտեք MOBA երկնիստ անկյան տանգենսի քառակուսին:

23. Կոնի բարձրությունը 2 է, հիմքի շառավիղը` \(2\sqrt 3 \):

1. Գտեք կոնի ծնորդի երկարությունը:

2. Գտեք կոնի ծնորդի և հիմքի հարթության կազմած անկյան աստիճանային չափը:

3. Գտեք կոնի առանցքային հատույթի ամենամեծ անկյան աստիճանային չափը:

4. Կոնի հիմքի տրամագիծը քանի՞ անգամ է մեծ հիմքի կենտրոնի և ծնորդի հեռավորությունից:

24. S գագաթով SABCDEF կանոնավոր վեցանկյուն բուրգի հիմքի կողմը 2 է, իսկ կողմնային կողը՝ \(\sqrt {13} \):

1. Գտեք բուրգի բարձրությունը:

2. Գտեք  \(\sqrt 3 \cdot V\)-ն, որտեղ V-ն բուրգի ծավալն է:

3. Գտեք SA և EF ուղիղների կազմած անկյան տանգենսի կրկնակին:

4. Գտեք AE ուղղի և BSA հարթության կազմած անկյան աստիճանային չափը:

25. ACDA₁B₁C₁D₁  ուղղանկյունանիստի` երկու կից կողմնային նիստերից մեկի անկյունագիծը 5 է, մյուսինը` \(20\sqrt 2 \): Հիմքի հարթության հետ այդ անկյունագծերի կազմած անկյունների տարբերությունը 45⁰ է:

1. Գտեք ABB₁C երկնիստ անկյան աստիճանային չափը:

2. Գտեք հիմքի կից կողմերի տարբերությունը:

3. Գտեք զուգահեռանիստին արտագծած գնդային մակերևույթի կենտրոնի հեռավորությունը հիմքի հարթությունից:

4. Գտեք զուգահեռանիստի կողմնային մակերևույթի մակերեսը:

26. DABC բուրգի D գագաթին հարակից բոլոր հարթ անկյուններն ուղիղ են: Հայտնի է, որ DA = 6, DB = 8, DC = 24:

1. Գտեք բուրգի կողմնային մակերևույթի մակերեսը` ընդունելով ABC-ն որպես հիմք:

2. Գտեք ADB նիստի D գագաթից տարված միջնագծի երկարությունը:

3. Գտեք DABC բուրգի ծավալը:

4. Գտեք բուրգին արտագծված գնդային մակերևույթի շառավիղը:

27. DABC բուրգի D գագաթին հարակից բոլոր հարթ անկյուններն ուղիղ են: Հայտնի է, որ DA= 3, DB = 4, իսկ բուրգի ծավալը` 24:

1. Գտեք ADB նիստի D գագաթից տարված միջնագծի երկարության կրկնապատիկը:

2. Գտեք DC կողի երկարությունը:

3. Գտեք DABC բուրգի կողմնային մակերևույթի մակերեսը` ընդունելով  ABC-ն որպես հիմք:

4. Գտեք բուրգին արտագծված գնդային մակերևույթի տրամագիծը:

28. S գագաթով SABCDEF կանոնավոր վեցանկյուն բուրգի բարձրությունը 4 է, իսկ կողմնային կողը՝ \(4\sqrt 5 \):

1. Գտեք բուրգի հիմքի կողմի երկարությունը:

2. Գտեք V-ն, որտեղ V-ն բուրգի ծավալն է:

3. Գտեք բուրգի կողմնային կողի և հիմքի հարթության կազմած անկյան կոտանգենսը:

4. Գտեք AE ուղղի և BSA հարթության կազմած անկյան աստիճանային չափը:

29. AB հատվածի ծայրակետերը գտնվում են 60⁰ անկյուն կազմող երկնիստ անկյան տարբեր նիստերի վրա: BD-ն և AC-ն երկնիստ անկյան կողին տարված ուղղահայացներն են: Հայտնի է, որ AB =\(3\sqrt {73}\) , BD = 24,  AC = 21:

1. Գտեք BD հատվածի պրոյեկցիան (ACD) հարթության վրա:

2. Գտեք AB-ի պրոյեկցիան (ACD) հարթության վրա:

3. Գտեք AC և BD ուղիղների հեռավորությունը:

4. Գտեք BACD բուրգի ծավալի և \(\sqrt 3\)-ի հարաբերությունը:

 

Դիտումներ. 4945

Դիտումներ. 3909

Ապացուցեք հետևյալ հաջորդականությունների սահմանափակությունը

1․\({x_n} = \frac{{2{n^2} - 1}}{{2 + 3{n^2}}}\)

2. \({x_n} = \frac{{2n + {{\left( { - 1} \right)}^n}}}{{3n - 5}}\)

3. \({x_n} = \sqrt {n - 1} - \sqrt {n + 1} \)

4. \({x_n} = n\left( {\sqrt {{n^4} + n} - \sqrt {{n^4} - n} } \right)\)

5. \({x_n} = \frac{{{n^2}}}{{{2^n}}}\)

6. \({x_n} = \frac{n}{{{a^n}}},\,\,\,\,a > 1\)

7. \({x_n} = \lg \left( {\sqrt {2{n^2} + 1} - n} \right) - \lg n\)

Ապացուցեք հետևյալ հաջորդականությունների անսահմանափակությունը

8․ \({x_n} = {\left( { - 1} \right)^n}n\)

9. \({x_n} = 2{n^2} - n\)

10. \({x_n} = \frac{{1 - n}}{{\sqrt n }}\)

11. \({x_n} = \frac{{n - {n^4}}}{{{{\left( {n + 2} \right)}^3}}}\)

12. \({x_n} = {n^{\cos \pi n}}\)

13. \({x_n} = \frac{{{4^n}}}{{{n^2}}}\)

Ելնելով հաջորդականության սահմանի սահմանումից՝ ցույց տվեք, որ տրված a թիվը տվյալ հաջորդականության սահմանն է։

14․ \({x_n} = \frac{{2n - 1}}{{3n + 4}},\,\,\,a = \frac{2}{3}\)

15. \({x_n} = \frac{{4n + {{\left( { - 1} \right)}^n}}}{{2n - 5}},\,\,\,a = 2\)

16. \({x_n} = \frac{{4{n^2} + 3n - 1}}{{5 - 7{n^2}}},\,\,\,a = - \frac{4}{7}\)

17. \({x_n} = \frac{n}{{\sqrt {4{n^2} + n} }},\,\,\,a = \frac{1}{2}\)

18.

 

Դիտումներ. 6628

Հաշվեք սահմանները

1․ \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{{x^2} + 4x - 5}}{{{x^2} - 1}}\)  Լուծումը

2․ \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{{x^3} - 3x + 2}}{{{x^5} - 4x + 3}}\)  Լուծումը

3․\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \left( {\frac{3}{{1 - {x^3}}} + \frac{1}{{x - 1}}} \right)\)   Լուծումը

4․\(\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{{{{\left( {2{x^3} + 7x - 1} \right)}^6}}}{{{{\left( {2{x^6} - 13{x^2} + x} \right)}^3}}}\)   Լուծումը

5․\(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \frac{{\sqrt {x + \sqrt {x + \sqrt x } } }}{{\sqrt {x + 1} }}\)   Լուծումը

6․\(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - 8} \frac{{\sqrt {1 - x}  - 3}}{{\sqrt[3]{x} + 2}}\)   Լուծումը

7․\(\mathop {\lim }\limits_{x \to a} \frac{{\sin x - \sin a}}{{x - a}}\)   Լուծումը

8․\(\mathop {\lim }\limits_{x \to \frac{\pi }{4}} \frac{{\sin x - \cos x}}{{1 - tgx}}\)    Լուծումը

9․\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} (1 - x)tg\frac{{\pi x}}{2}\)   Լուծումը

10․\(\mathop {\lim }\limits_{x \to \frac{\pi }{3}} \frac{{1 - 2\cos x}}{{\pi  - 3x}}\)    Լուծումը

11․\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\arcsin x}}{x}\)   Լուծումը

12․\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{1 - \sqrt {\cos x} }}{{{x^2}}}\)   Լուծումը

13․\(\mathop {\lim }\limits_{x \to \frac{\pi }{3}} \frac{{t{g^3}x - 3tgx}}{{\cos \left( {x + \frac{\pi }{6}} \right)}}\)   Լուծումը

14․\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\sqrt {1 + tgx}  - \sqrt {1 + \sin x} }}{{{x^3}}}\)   Լուծումը

15․\(\mathop {\lim }\limits_{x \to \frac{\pi }{6}} \frac{{\cos \left( {\frac{{2\pi }}{3} - x} \right)}}{{\sqrt 3  - 2\cos x}}\)   Լուծումը

16․\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{tg\left( {1 + x} \right)tg\left( {1 - x} \right) - t{g^2}1}}{{t{g^2}x}}\)   Լուծումը

17․\(\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } {\left( {\frac{x}{{1 + x}}} \right)^x}\)   Լուծումը

18․\(\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } {\left( {\frac{{x + 1}}{{x - 2}}} \right)^{2x - 1}}\)   Լուծումը

19․\(\mathop {\lim }\limits_{x \to  \pm \infty } {\left( {1 + \frac{1}{x}} \right)^{{x^2}}}\)    Լուծումը

20․\(\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } {\left( {\frac{{{x^2} - 2x + 1}}{{{x^2} - 4x + 2}}} \right)^x}\)    Լուծումը

21․\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {\left( {\cos x} \right)^{ - \,\frac{1}{{{x^2}}}}}\)   Լուծումը

22․\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {\left( {tg\left( {\frac{\pi }{4} - x} \right)} \right)^{ctgx}}\)   Լուծումը

23․\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\ln \left( {tg\left( {\frac{\pi }{4} + 3x} \right)} \right)}}{{\sin 4x}}\)   Լուծումը

24․\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\ln \left( {1 + kx} \right)}}{x}\)   Լուծումը

25․\(\mathop {\lim }\limits_{x \to e} \frac{{\ln x - 1}}{{x - e}}\)   Լուծումը

26․\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{{e^x} - e}}{{x - 1}}\)   Լուծումը

27․\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{{e^{{x^2}}} - \cos x}}{{{x^2}}}\)    Լուծումը

28․   Լուծումը